具有很寬截止帶的邊緣濾光片往往會出現(xiàn)尖峰[1]，這些峰值具有較高透射率，并且在光譜范圍上很窄。這是由濾光片的核心腔體結構導致的。腔體的存在會稍微擴展特性，因此有時會采用優(yōu)化或合成工藝來引入它們。峰值隨系統(tǒng)任何層的厚度變化而移動，因此它始終存在于目標點之間。優(yōu)化過程中增加目標點的密度在某種程度上是有幫助的，但是尖峰可能非常窄，要消除它們，意味著點的密度非常高，但是收斂速度會非常慢。
然后四分之一堆棧有一個更高級次的反射峰。如果截止帶足夠?qū)挘Y構的一部分的高階區(qū)可能與另一部分的低階區(qū)重合。這也通常會增加一些尖峰，特別是在高反射和低透射率區(qū)的短波端。這個尖峰問題沒有完全的解決辦法。幸運的是，在許多情況下，我們尋找低平均透射率或高平均反射率，那么峰值問題就不那么令人擔心。但也有一些應用要求絕對透射率低于一定水平。在這種情況下，導數(shù)目標可以幫助。
我們看一個邊緣大概在700nm的短波通濾光片，我們希望可見光區(qū)域的透射率小于0.1%，并且在到1000nm具有高透射率。為簡單起見，我們使用無色散材料，入射介質(zhì)折射率為1.00，基底為1.52，薄膜材料為1.45（L）和2.35（H）。最初的設計是一個簡單的四分之一堆棧，參考波長為550 nm，公式：（LH）^35 L。目標是：400nm-690nm，步長2.0nm-透過率小于等于0.1%，公差0.1%，權重2.0。715nm-1000nm，步長2.0nm-透過率等于100%，公差1.0%，權重1.5。
圖1.在通帶具有出色的透射率，但是截止帶有峰值會影響性能。
圖2.仔細檢查峰值，即405納米處的峰值，表明它們存在于將插的入目標點之間，所以在優(yōu)化過程中會忽略它們。
結果如圖1和圖2所示。透射率很好，但通常會出現(xiàn)尖峰。它們主要位于目標點之間，如圖2所示，它們就不會被優(yōu)化函數(shù)記錄下來。而且將目標值減少到零透射率，并將運算符設置為等號，結果幾乎沒有區(qū)別。圖3和圖4顯示了相同初始設計的優(yōu)化結果，但目標修改后更依賴于一組導數(shù)目標。新的目標如下：
400nm-690nm，步長2.0nm。要求透射率的一階導數(shù)為0.0%，公差為0.0002，權重為1.0。
400nm-650nm，步長50nm。透射率小于等于0.1%，公差0.1%，權重2.0。
690nm，透過率小于等于0.3%，公差0.1，權重5.0。這個目標要求會略微寬松一點，這是為了幫助形成邊緣。
715nm-1000nm，步長2nm。透過率等于100%，公差1.0%，權重1.5。
在分配這些目標值時沒有深入的推理。它們只是根據(jù)經(jīng)驗選擇的，可能是相當有效的。導數(shù)不涉及明確的透過率數(shù)值，因此增加了要求0.1%或更低透射率的透射率目標，但間距相當大。導數(shù)目標的意思是為了識別一個上升的趨勢，并在相關的透過峰值變得過高之前停止它。通過用這種方式抑制峰值，我們需要一組比使用絕對透過率值更稀疏的目標點，就像我們在第一個例子中所做的那樣。峰值上升的坡度必須較低，將其值設置為零，且公差很小。同樣，所使用的值是根據(jù)相關經(jīng)驗而不是任何相關理論來選擇的。圖3和圖4顯示了新的結果。在對數(shù)刻度上，仍然有許多變化，但實際上非常小，因為是被對數(shù)刻度放大的。同時，這項技術雖然集中在截止帶上，但是通帶的波紋已經(jīng)受到了輕微的影響。
圖3.包含導數(shù)目標的優(yōu)化完成后的結果
圖4.以對數(shù)刻度顯示曲線
導數(shù)目標對透過率絕對值的忽視是它的一個缺點，這就是為什么我們在低透射率下增加稀疏目標的原因。在合成過程中，層數(shù)較低時，導數(shù)會占主導地位，可以保持性能平坦的特性，但是抑制了添加層數(shù)的功能，所以導數(shù)目標不能很好的搭配合成功能。導數(shù)目標應該在優(yōu)化功能中使用。Differential Evolution 是一個很好的選擇，利用導數(shù)目標，如圖5，是使用相同材料的47層短波通濾光片。
圖5.一種47層無尖峰短波濾光片，該濾光片由截止帶內(nèi)具有導數(shù)目標的Differential Evolution優(yōu)化技術產(chǎn)生。
[1] C. Clark and A. Macleod, "Spikes," in 55th Annual Technical Conference, Society of Vacuum Coaters: Santa Clara. p. 263-267, (2012).
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